Jak Pitagoras wpłynął na muzykę?

Tetraktys pitagorejczyków

Tetraktys to figura trójkątna ułożona z dziesięciu punktów w strukturze piramidy. Suma pierwszych czterech liczb 1+2+3+4 daje liczbę 10. Tetraktys zapisywany był graficznie w formie piramidy na płaszczyźnie z podstawą składającą się z czterech kul, na której ułożone były trzy kule, następnie dwie i na czubku jedna.

Rys.1 Tetraktys pitagorejski

Starożytny filozof Porfiriusz przypisywał mu znaczenie kultowe, symbol wszechświata, dlatego podobno by stosowany w czasie przysięgi Pitagorejczyków:

„Wszystko jest liczbą!”

Pitagoras, przy użyciu monochordu, rozpoczął badania nad właściwym podziałem struny. Dzieląc strunę na części zgodnie z założeniami tetraktysu, zauważył związek między długością wibrującej struny, a wysokością dźwięku.

Rys.2 Monochord – zbudowany z pudła rezonansowego opatrzonego jedną struną na przesuwalnym podstawku (bloczku), pozwalającym na zmianę dźwięków.

Doświadczenia Pitagorasa polegały na podziale struny przy pomocy przesuwanej podpórki. Była ona ustawiana w odległości 1/2, 1/3 i 1/4 długości struny od jednego z jej punktów zaczepienia. To doprowadziło do wyznaczenia następujących interwałów:

Tab.1 Stosunek długości struny do stosunku częstotliwości

Co ciekawe, stosunki częstotliwości odpowiednich dźwięków są odwróceniem stosunków długości części struny.

Pitagoras uważał, że nie ma potrzeby dalej dzielić struny, ponieważ przez dodawanie i odejmowanie już otrzymanych interwałów można otrzymać wszystkie inne. Miało to polegać na mnożeniu lub dzieleniu wyjściowej częstotliwości przez otrzymane współczynniki, równe stosunkom odpowiednich częstotliwości.

Rozbieżność matematyczna, czyli komat pitagorejski

W systemie Pitagorasa wszystkie całe tony (czyli sekundy wielkie) miały współczynnik 9/8. Okazało się jednak, że były w nim dwa rodzaje półtonów: 256/243 i 2187/2048, z których żaden nie odpowiadał połowie całego tonu. To prowadziło do tego, że gdy dźwięk podwyższany był o pół tonu, otrzymywano inny dźwięk, niż wtedy, gdy obniżano o pół tonu dźwięk leżący o cały ton wyżej, więc np. cis było wyższe od des. Tę różnicę odległości całego tonu i dwóch jednakowych półtonów nazywa się „komatem pitagorejskim”. Pitagoras uporządkował wszystkie interwały pod względem zgodności brzmienia dźwięków odległych o dany interwał (konsonansowości), mianowicie wg Pitagorasa interwał był bardziej konsonansowy, jeżeli określał go stosunek mniejszych liczb.

W średniowieczu zauważono, że teoria Pitagorasa jest niezgodna z praktyką, ponieważ o wiele lepiej brzmiały dwa głosy prowadzone w odległości tercji, niż np. sekundy, podczas gdy – zgodnie z systemem Pitagorasa – sekunda była bardziej konsonansowa od tercji (np. tercja wielka miała współczynnik 81/64, a sekunda wielka – współczynnik 9/8, a więc różnica była dość znaczna). Stało się więc konieczne stworzenie nowego systemu usuwającego tę niezgodność. Ale to już temat na kolejny artykuł 😊

Źródła:

• 1. Porfiriusz, Żywot Pitagorasa, EPSILON, Wrocław (1993)
• 2. Krzysztof Dąbrowski, Historia systemów dźwiękowych, Delta 06/1981
• 3. Danuta Gwizdalanka, Historia muzyki cz. 1, PWM 2014