Inne


Jak Pitagoras wpłynął na muzykę?

Hubert Jastrzębski, Właściciel firmy Falcon Acoustics

30 sierpnia 2017

Badania stosunków długości strun i piszczałek przeprowadzano już w czasach wczesnohistorycznych, jednak miały one charakter wycinkowy i niedokładny. Pierwszym badaczem, który stworzył dokładne podstawy teoretycznego wyznaczania wysokości dźwięków, był sławny filozof i matematyk – Pitagoras.

Pierwszym instrumentem był głos ludzki. Z czasem człowiek wymyślił przedmioty wydające dźwięki o określonej lub nieokreślonej wysokości – były to różnego rodzaju gwizdki, zwierzęce rogi, cięciwy łuków, prymitywne instrumenty perkusyjne. Wydawały one zazwyczaj jeden dźwięk. Z czasem zaczęto budować instrumenty, wydające więcej dźwięków – wywiercano dodatkowe otwory, skracano palcami cięciwy łuków itp. Początkowo zbiór dźwięków, wydawanych przez takie instrumenty był dosyć przypadkowy – tak jak przypadkowy był dobór odległości kolejnych otworów czy długości struny. W miarę rozwoju muzyki zaczęto zauważać potrzebę ujednolicenia wysokości dźwięków, uzyskiwanych z różnych instrumentów, pojawił się więc problem, jak dokładnie wyznaczyć wszystkie używane wysokości dźwięków.

Tetraktys pitagorejczyków

Tetraktys to figura trójkątna ułożona z dziesięciu punktów w strukturze piramidy. Suma pierwszych czterech liczb 1+2+3+4 daje liczbę 10. Tetraktys zapisywany był graficznie w formie piramidy na płaszczyźnie z podstawą składającą się z czterech kul, na której ułożone były trzy kule, następnie dwie i na czubku jedna.

Rys.1 Tetraktys pitagorejski

Starożytny filozof Porfiriusz przypisywał mu znaczenie kultowe, symbol wszechświata, dlatego podobno by stosowany w czasie przysięgi Pitagorejczyków:

Przysięgam na tego, który naszym duszom dał tetraktys,
Mający w sobie korzenie i źródło wiecznej natury.

„Wszystko jest liczbą!”

Pitagoras, przy użyciu monochordu, rozpoczął badania nad właściwym podziałem struny. Dzieląc strunę na części zgodnie z założeniami tetraktysu, zauważył związek między długością wibrującej struny, a wysokością dźwięku.

Rys.2 Monochord – zbudowany z pudła rezonansowego opatrzonego jedną struną na przesuwalnym podstawku (bloczku), pozwalającym na zmianę dźwięków.

Doświadczenia Pitagorasa polegały na podziale struny przy pomocy przesuwanej podpórki. Była ona ustawiana w odległości 1/2, 1/3 i 1/4 długości struny od jednego z jej punktów zaczepienia. To doprowadziło do wyznaczenia następujących interwałów:

Tab.1 Stosunek długości struny do stosunku częstotliwości

stosunek długości strunyinterwałstosunek częstotliwości
3:4kwarta4:3
2:3kwinta3:2
1:2oktawa2:1

Co ciekawe, stosunki częstotliwości odpowiednich dźwięków są odwróceniem stosunków długości części struny.

Pitagoras uważał, że nie ma potrzeby dalej dzielić struny, ponieważ przez dodawanie i odejmowanie już otrzymanych interwałów można otrzymać wszystkie inne. Miało to polegać na mnożeniu lub dzieleniu wyjściowej częstotliwości przez otrzymane współczynniki, równe stosunkom odpowiednich częstotliwości.

Rozbieżność matematyczna, czyli komat pitagorejski

W systemie Pitagorasa wszystkie całe tony (czyli sekundy wielkie) miały współczynnik 9/8. Okazało się jednak, że były w nim dwa rodzaje półtonów: 256/243 i 2187/2048, z których żaden nie odpowiadał połowie całego tonu. To prowadziło do tego, że gdy dźwięk podwyższany był o pół tonu, otrzymywano inny dźwięk, niż wtedy, gdy obniżano o pół tonu dźwięk leżący o cały ton wyżej, więc np. cis było wyższe od des. Tę różnicę odległości całego tonu i dwóch jednakowych półtonów nazywa się „komatem pitagorejskim”. Pitagoras uporządkował wszystkie interwały pod względem zgodności brzmienia dźwięków odległych o dany interwał (konsonansowości), mianowicie wg Pitagorasa interwał był bardziej konsonansowy, jeżeli określał go stosunek mniejszych liczb.

W średniowieczu zauważono, że teoria Pitagorasa jest niezgodna z praktyką, ponieważ o wiele lepiej brzmiały dwa głosy prowadzone w odległości tercji, niż np. sekundy, podczas gdy – zgodnie z systemem Pitagorasa – sekunda była bardziej konsonansowa od tercji (np. tercja wielka miała współczynnik 81/64, a sekunda wielka – współczynnik 9/8, a więc różnica była dość znaczna). Stało się więc konieczne stworzenie nowego systemu usuwającego tę niezgodność. Ale to już temat na kolejny artykuł 😊

Źródła:

  • 1. Porfiriusz, Żywot Pitagorasa, EPSILON, Wrocław (1993)
  • 2. Krzysztof Dąbrowski, Historia systemów dźwiękowych, Delta 06/1981
  • 3. Danuta Gwizdalanka, Historia muzyki cz. 1, PWM 2014

Jeśli chcesz na bieżąco dowiadywać się o ciekawostkach ze świata akustyki, zapisz się na nasz newsletter

Czytaj także

Wpływ sygnału mowy na jakość wykonywanego zadania, czyli o tym dlaczego pracownicy nie dadzą z siebie 100% w biurach typu open space

Są takie pomieszczenia, w których im gorzej słychać, tym lepiej, a szum jest mile widziany. Jeśli nie możemy się zrozumieć siedząc stanowisko obok siebie, to nawet jeszcze lepiej! Ze względu na specyficzne potrzeby biur open space powstała norma opisująca sposób uzyskania obiektywnych jednoliczbowych parametrów, opisujących te pomieszczenia. Poniższy artykuł wyjaśni, dlaczego potrzeba troszkę utrudnić sobie życie, aby móc dobrze opisać warunki akustyczne panujące w biurze o otwartej powierzchni.

czytaj dalej